Hawwa-Sulamjt: Квадратура круга

«Математическое знание превосходит любое Священное писание, ибо по поводу последних существует много разногласий и споров, тогда как математические истины бесспорны,» -так говорит Hawwa (Havvā’) – Sulamjt.

Квадратура круга

"Не может быть, чтобы читатель не слыхал никогда о «квадратуре круга» - о той знаменитейшей задаче геометрии, над которой трудились математики еще 20 веков назад. Я даже уверен, что среди читателей найдутся и такие, которые сами пытались разрешить эту задачу. Еще больше, однако, наберется читателей, которые недоумевают, в чем собственно кроется трудность разрешения этой классической неразрешимой задачи. Многие, привыкшие повторять с чужого голоса, что задача о квадратуре круга неразрешима, не отдают себе ясного отчета ни в сущности самой задачи, ни в трудности ее разрешения.

В математике есть немало задач, гораздо более интересных и теоретически, и практически, нежели задача о квадратуре круга. Но ни одна не приобрела такой популярности, как эта проблема, давно вошедшая в поговорку. Два тысячелетия трудились над ней выдающиеся профессионалы-математики и несметные толпы любителей.

«Найти квадратуру круга» - значит начертить квадрат, площадь которого в точности равна площади данного круга. Практически задача эта возникает очень часто, но как раз практически она разрешима с любой точностью. Знаменитая задача древности требует, однако, чтобы чертеж выполнен был совершенно точно при помощи всего только двух родов чертежных операций: 1) проведением окружности данного радиуса вокруг данной точки; 2) проведением прямой линии через две данные точки.

Короче говоря, необходимо выполнить чертеж, пользуясь только двумя чертежными инструментами: циркулем и линейкой.

В широких кругах нематематиков распространено убеждение, что вся трудность обусловлена тем, что отношение длины окружности к ее диаметру (знаменитое число π) не может быть выражено конечным числом цифр. Это верно лишь постольку, поскольку разрешимость задачи зависит от особенной природы числа π. В самом деле: превращение прямоугольника в квадрат с равной площадью — задача легко и точно разрешимая. Но проблема квадратуры круга сводится ведь к построению — циркулем и линейкой — прямоугольника, равновеликого данному кругу. Из формулы площади круга, S = πr², или (что то же самое) S=πr x r, ясно, что площадь круга равна площади такого прямоугольника, одна сторона которого равна r, а другая в π раз больше. Значит, все дело в том, чтобы начертить отрезок, который в π раз длиннее данного.

Как известно, π не равно в точности ни 3(1/7), ни 3,14 ни даже 3,14159. Ряд цифр, выражающих это число, уходит в бесконечность.

Указанная особенность числа π, его иррациональность (особенность иррационального числа состоит в том, что оно не может быть выражено какой-либо точной дробью), установлена была еще в XVIII веке математиками Ламбертом и Лежандром. И все же знание иррациональности π не остановило усилий сведущих в математике «квадратуристов». Они понимали, что иррациональность π сама по себе не делает задачи безнадежной. Существуют иррациональные числа, которые геометрия умеет «строить» совершенно точно. Пусть, например, требуется начертить отрезок, который длиннее данного в раз. Число , как и π, - иррациональное. Тем не менее ничто не может быть легче, чем начертить искомый отрезок: вспомним, что a есть сторона квадрата, вписанного в круг радиуса а.

Каждый школьник легко справляется также и с построением отрезка a (сторона равностороннего вписанного треугольника). Не представляет особых затруднений даже построение такого весьма сложного на вид иррационального выражения:

,

потому что оно сводится к построению правильного 64-угольника.

Как видим, иррациональный множитель, входящий в выражение, не всегда делает это выражение невозможным для построения циркулем и линейкой. Неразрешимость квадратуры круга кроется не всецело в том, что число π - иррациональное, а в другой особенности этого же числа. Именно, число π - не алгебраическое, т.е. не может быть получено в итоге решения какого бы то ни было уравнения с рациональными коэффициентами. Такие числа называются «трансцендентными» .

Математик XVI столетия Вьета доказал, что число

и т.д.

Это выражение для π разрешало бы задачу о квадратуре круга, если бы число входящих в него операций было конечно (тогда приведенное выражение можно было бы геометрически построить). Но так как число извлечений квадратных корней в этом выражении бесконечно, то выражение Вьета не помогает делу.

Итак, неразрешимость задачи о квадратуре круга обусловлена трансцендентностью числа π, т. е. тем, что оно не может получиться в итоге решения уравнения с рациональными коэффициентами. Эта особенность числа π была строго доказана в 1889 г. немецким математиком Линдеманом. В сущности названный ученый и должен считаться единственным человеком, разрешившим квадратуру круга, несмотря на то, что решение его отрицательное - оно утверждает, что искомое построение геометрически невыполнимо. Таким образом, в 1889 г. завершаются многовековые усилия математиков в этом направлении; но, к сожалению, не прекращаются бесплодные попытки многочисленных любителей, недостаточно знакомых с задачей.

Так обстоит дело в теории. Что касается практики, то она вовсе не нуждается в точном разрешении этой знаменитой задачи. Убеждение многих, что разрешение проблемы квадратуры круга имело бы огромное значение для практической жизни - глубокое заблуждение. Для потребностей обихода вполне достаточно располагать хорошими приближенными приемами решения этой задачи.

Практически поиски квадратуры круга стали бесполезны с того времени, как найдены были первые 7-8 верных цифр числа π. Для потребностей практической жизни вполне достаточно знать, что π=3,1415926. Никакое измерение длины не может дать результата, выражающегося более чем семью значащими цифрами. Поэтому брать для π более восьми цифр - бесполезно: точность вычисления от этого не улучшается. Если радиус выражен семью значащими цифрами, то длина окружности не будет содержать более семи достоверных цифр, даже если взять для π сотню цифр. То, что старинные математики затратили огромный труд для получения возможно более длинных значении π, никакого практического значения не имеет. Да и научное значение этих трудов ничтожно. Это попросту дело терпения. Если у вас есть охота и достаточно досуга, вы можете отыскать хоть 1000 цифр для π, пользуясь, например, следующим бесконечным рядом, найденным Лейбницем:

и т.д.

Но это будет никому не нужное арифметическое упражнение, нисколько не подвигающее разрешения знаменитой геометрической задачи.

Упомянутый ранее французский астроном Араго писал по этому поводу следующее:

«Искатели квадратуры круга продолжают заниматься решением задачи, невозможность которого ныне положительно доказана и которое, если бы даже и могло осуществиться, не представило бы никакого практического интереса. Не стоит распространяться об этом предмете: больные разумом, стремящиеся к открытию квадратуры круга, не поддаются никаким доводам. Эта умственная болезнь существует с древнейших времен».

И иронически заканчивает:

«Академии всех стран, борясь против искателей квадратуры, заметили, что болезнь эта обычно усиливается к весне»."

Перельман Я.И. Занимательная геометрия. - Д.: ВАП. 1994

Алгебраическая «КВАДРАТУРА КРУГА». Решение дано БОГОМ Аπωλλо.

(«У Него самые прекрасные имена». Коран)

S квадрата = ( R)²=2ч²=4r²=S круга,

где R – радиус квадратуры круга;

ч – радиус окружности, описанной вокруг квадрата;

r – радиус окружности, вписанной в квадрат.

Найдем сторону квадрата:

( R)²= 2ч²= 4r²

R =ч = 2r

r – для этой задачи, всегда кратно «2» - защита от «дурака» (термин в электронике).

Решение окончено.

«Любовь, что движет солнце и светила.»

Геометрическая «КВАДРАТУРА КРУГА».

Решение дала Царица Мироздания - Hawwa-Sulamjt.

S квадрата = × ; S круга = π×R² .

= 1,41421356

S квадрата = 1,41421356 × 1,41421356 = 1,99999999

S круга = 3,14159265 × 0,63661977 = 1,99999999